১²+২²+৩²+ —- +৫০² = ?

সঠিক উত্তর: (খ) ৪২৯২৫ **ভূমিকা:** বাংলাদেশের সরকারি চাকরির পরীক্ষাগুলোতে গণিত ও সাধারণ জ্ঞানের অংশ হিসেবে বিভিন্ন ধরণের সূত্রভিত্তিক প্রশ্ন আসে। তেমনই একটি গুরুত্বপূর্ণ সূত্র হলো ধারার বর্গের সমষ্টি নির্ণয়ের সূত্র। এই সূত্রটি বিভিন্ন প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায় বারবার দেখা যায়, বিশেষ করে BCS, Bank, Primary শিক্ষক নিয়োগ, এবং NTRCA পরীক্ষায়। --- **ধারার বর্গের সমষ্টির সূত্র সম্পর্কে বিস্তারিত তথ্য:** — ধারার বর্গের সমষ্টির সূত্র হলো: **1² + 2² + 3² + ... + n² = n(n+1)(2n+1)/6** এটি একটি গুরুত্বপূর্ণ সূত্র যা ধারার বর্গের সমষ্টি নির্ণয়ে ব্যবহৃত হয়। — উদাহরণস্বরূপ: যদি n = 3 হয়, তাহলে 1² + 2² + 3² = 1 + 4 + 9 = 14 সূত্র প্রয়োগ করলে: 3(3+1)(2×3+1)/6 = 3×4×7/6 = 84/6 = 14 (যা সঠিক) — এই সূত্রটি বিভিন্ন ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়, যেমন: - পরিসংখ্যানে বিভাজনের মান নির্ণয়। - প্রকৌশল ও বিজ্ঞানে বিভিন্ন সমস্যার সমাধান। - প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায় দ্রুত গণনা করার জন্য। — সূত্রটির প্রমাণ: গাণিতিক আরোহ পদ্ধতি ব্যবহার করে এই সূত্রটি প্রমাণ করা যায়। ধাপ ১: n = 1 এর জন্য সূত্রটি সঠিক (1² = 1(1+1)(2×1+1)/6 = 1) ধাপ ২: n = k এর জন্য সঠিক বলে ধরে নিয়ে n = k+1 এর জন্য প্রমাণ করা যায়। --- **বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:** ✗ ক) ৩৫৭২৫: — এটি ধারার বর্গের সমষ্টির সূত্র প্রয়োগ না করে ভুল গণনার ফলে পাওয়া যায়। সূত্রটি সঠিকভাবে প্রয়োগ করলে এই মান পাওয়া যায় না। ✗ গ) ৪৫৫০০: — এটি ধারার বর্গের সমষ্টির সূত্রের পরিবর্তে অন্য কোনো সূত্র বা ভুল গণনার ফলে পাওয়া যায়। সূত্রটি সঠিকভাবে প্রয়োগ করলে এই মান পাওয়া যায় না। ✗ ঘ) ৪৭২২৫: — এটি ধারার বর্গের সমষ্টির সূত্রের পরিবর্তে অন্য কোনো সূত্র বা ভুল গণনার ফলে পাওয়া যায়। সূত্রটি সঠিকভাবে প্রয়োগ করলে এই মান পাওয়া যায় না। --- **উৎস:** - গণিতের সূত্রাবলী (এনসিটিবি প্রকাশিত মাধ্যমিক গণিত বই) - সাধারণ গণিত (ড. দিলীপ কুমার দত্ত) - বিসিএস পরীক্ষার প্রশ্নব্যাংক (২০১০-২০২৩)