1/√3, – 1, √3, ……… ধারটির পঞ্চম পদ কত?

সঠিক উত্তর: (ঘ) 3√3 ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা (Geometric Sequence) হিসেবে বিবেচনা করা যেতে পারে। ধারাটির প্রথম চারটি পদ দেওয়া আছে: 1/√3, –1, √3, ………। এখানে প্রতিটি পদ পূর্ববর্তী পদটির সাথে একটি নির্দিষ্ট অনুপাত দ্বারা গুণিত হচ্ছে। <ধারার প্রকৃতি সম্পর্কিত ভূমিকা> গুণোত্তর ধারা হলো এমন একটি ধারা যেখানে প্রতিটি পদ তার পূর্ববর্তী পদটির সাথে একটি স্থির অনুপাত (common ratio) দ্বারা গুণিত হয়। এই ধারার সাধারণ পদ (n-th term) নির্ণয়ের সূত্র হলো: **Tₙ = a × r^(n–1)** যেখানে, - Tₙ = n তম পদ - a = প্রথম পদ - r = সাধারণ অনুপাত <ধারাটির সাধারণ অনুপাত নির্ণয়> প্রথম পদ (a) = 1/√3 দ্বিতীয় পদ = –1 সাধারণ অনুপাত (r) = দ্বিতীয় পদ ÷ প্রথম পদ = (–1) ÷ (1/√3) = –√3 <ধারাটির সাধারণ পদ নির্ণয়> ধারাটির সাধারণ পদ নির্ণয়ের সূত্র: Tₙ = a × r^(n–1) = (1/√3) × (–√3)^(n–1) <পঞ্চম পদ নির্ণয়> পঞ্চম পদ (T₅) = (1/√3) × (–√3)^(5–1) = (1/√3) × (–√3)^4 = (1/√3) × (√3)^4 [যেহেতু (–√3)^4 = (√3)^4] = (1/√3) × (3²) [যেহেতু (√3)^4 = (3^(1/2))^4 = 3²] = (1/√3) × 9 = 9/√3 = 9√3/3 [হর থেকে √3 বাদ দেওয়ার জন্যNumerator ও Denominator কে √3 দ্বারা গুণ করা হয়েছে] = 3√3 <বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ> ✗ (ক) –√3: এটি ধারাটির দ্বিতীয় পদ বা তৃতীয় পদ হতে পারে, কিন্তু পঞ্চম পদ নয়। ✗ (খ) 9: এটি ধারাটির সাধারণ অনুপাতের বর্গ বা চতুর্থ ঘাতের অংশ হতে পারে, কিন্তু সরাসরি পঞ্চম পদ নয়। ✗ (গ) –9√3: এটি ধারাটির সাধারণ অনুপাতের সাথে সম্পর্কিত হতে পারে, কিন্তু পঞ্চম পদ ধনাত্মক হওয়ায় এটি ভুল। উৎস: - গণিতের সাধারণ জ্ঞান ও ধারা সম্পর্কিত সমস্যা সমাধানের জন্য ব্যবহৃত সূত্রাবলি। - মাধ্যমিক ও উচ্চ মাধ্যমিক স্তরের গণিত পাঠ্যপুস্তক। - বিভিন্ন প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষার প্রশ্নপত্র ও সমাধান।