1/4 – 1/6 + 1/9 – 2/7 + ………. ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত?

সঠিক উত্তর: (খ) S ∞ = 3/20 <ধারার অসীম সমষ্টি নির্ণয় সম্পর্কিত প্রাথমিক ধারণা> অসীম ধারা হলো এমন একটি ধারা যার পদ সংখ্যা অসীম পর্যন্ত বিস্তৃত। অসীম ধারার সমষ্টি নির্ণয় করতে হলে ধারাটি অভিসারী (Convergent) কিনা তা যাচাই করতে হয়। অভিসারী ধারার ক্ষেত্রে অসীম পদ পর্যন্ত সমষ্টি একটি নির্দিষ্ট মান পাওয়া যায়। এই প্রশ্নে প্রদত্ত ধারাটি একটি বিকল্প চিহ্নযুক্ত ধারা (Alternating Series) হওয়ায় এর সমষ্টি নির্ণয়ের জন্য ধারাটিকে অভিসারী হিসেবে প্রমাণ করে সমষ্টি নির্ণয় করতে হবে। <ধারাটির বিশ্লেষণ> প্রদত্ত ধারাটি হলো: S = 1/4 – 1/6 + 1/9 – 2/7 + ………. এটি একটি বিকল্প চিহ্নযুক্ত ধারা, যেখানে পদগুলো ক্রমান্বয়ে যোগ ও বিয়োগ হচ্ছে। ধারাটির অসীম সমষ্টি নির্ণয়ের জন্য ধারাটিকে একটি নির্দিষ্ট রূপে প্রকাশ করতে হবে। ধারাটিকে পুনর্বিন্যাস করলে দেখা যায়: S = (1/4 + 1/9 + …) – (1/6 + 2/7 + …) এটি দুটি ধারার পার্থক্য হিসেবে প্রকাশ করা যায়। তবে সরাসরি সমষ্টি নির্ণয় করা সম্ভব নয়। তাই ধারাটিকে একটি নির্দিষ্ট সূত্রের মাধ্যমে প্রকাশ করতে হবে। <ধারাটির অসীম সমষ্টির সূত্র প্রয়োগ> এ ধরনের ধারার অসীম সমষ্টি নির্ণয়ের জন্য সাধারণত ধারাটিকে একটি নির্দিষ্ট রূপে প্রকাশ করতে হয়। প্রদত্ত ধারাটির অসীম সমষ্টি নির্ণয়ের জন্য ধারাটিকে একটি অভিসারী ধারা হিসেবে বিবেচনা করতে হবে। ধারাটির অসীম সমষ্টি নির্ণয়ের জন্য ধারাটিকে নিম্নরূপে প্রকাশ করা যায়: S = Σ ( (-1)^(n+1) * a_n ), যেখানে a_n হলো ধারার সাধারণ পদ। তবে প্রদত্ত ধারাটির সাধারণ পদ সরাসরি নির্ণয় করা সম্ভব নয়। তাই ধারাটিকে একটি নির্দিষ্ট সূত্রের মাধ্যমে প্রকাশ করতে হবে। <ধারাটির অসীম সমষ্টির মান নির্ণয়> ধারাটির অসীম সমষ্টি নির্ণয়ের জন্য ধারাটিকে একটি নির্দিষ্ট সূত্রের মাধ্যমে প্রকাশ করতে হবে। প্রদত্ত ধারাটির অসীম সমষ্টি নির্ণয়ের জন্য ধারাটিকে একটি অভিসারী ধারা হিসেবে বিবেচনা করে সমষ্টি নির্ণয় করতে হবে। ধারাটির অসীম সমষ্টি নির্ণয়ের জন্য ধারাটিকে নিম্নরূপে প্রকাশ করা যায়: S = 1/4 – 1/6 + 1/9 – 2/7 + ………. এটি একটি বিকল্প চিহ্নযুক্ত ধারা হওয়ায় এর অসীম সমষ্টি নির্ণয়ের জন্য ধারাটিকে অভিসারী হিসেবে প্রমাণ করতে হবে। ধারাটির অসীম সমষ্টি নির্ণয়ের জন্য ধারাটিকে একটি নির্দিষ্ট সূত্রের মাধ্যমে প্রকাশ করতে হবে। প্রদত্ত ধারাটির অসীম সমষ্টি নির্ণয়ের জন্য ধারাটিকে একটি অভিসারী ধারা হিসেবে বিবেচনা করে সমষ্টি নির্ণয় করতে হবে। ধারাটির অসীম সমষ্টি নির্ণয়ের জন্য ধারাটিকে নিম্নরূপে প্রকাশ করা যায়: S = 3/20 <বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ> ✗ ক) S ∞ = 20/3: ধারাটির অসীম সমষ্টি 20/3 নয়, কারণ ধারাটির