5x – x 2 – 6 > 0 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

সঠিক উত্তর: (ঘ) 2 < x < 3 **বিষয় সম্পর্কিত ভূমিকা:** বাংলাদেশের সরকারি চাকরির পরীক্ষাগুলোতে (BCS, Bank, Primary, NTRCA) সাধারণত গণিত ও বিশ্লেষণাত্মক যুক্তির প্রশ্ন অন্তর্ভুক্ত থাকে। এ ধরনের অসমতার সমাধান কীভাবে করতে হয় তা জানা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। উপরের প্রশ্নটি একটি দ্বিঘাত অসমতার সমাধান সংক্রান্ত, যা বিভিন্ন প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায় প্রায়শই দেখা যায়। --- **5x – x² – 6 > 0** সম্পর্কে বিস্তারিত তথ্য: — প্রথমে অসমতাটিকে সমীকরণে রূপান্তর করলে পাওয়া যায়: **5x – x² – 6 = 0**। — সমীকরণটিকে পুনর্বিন্যাস করলে দাঁড়ায়: **-x² + 5x – 6 = 0** অথবা **x² – 5x + 6 = 0** (উভয় পক্ষকে -1 দ্বারা গুণ করে)। — এখন সমীকরণটির উৎপাদক নির্ণয় করলে পাওয়া যায়: **(x – 2)(x – 3) = 0**। — এর সমাধান হলো **x = 2** এবং **x = 3**। এই মানগুলো অসমতাটির মূলবিন্দু হিসেবে কাজ করবে। — দ্বিঘাত অসমতার ক্ষেত্রে, মূলবিন্দুগুলো দ্বারা রেখাটিকে কয়েকটি অঞ্চলে ভাগ করা হয়। এখানে অঞ্চলগুলো হলো: 1. x < 2 2. 2 < x < 3 3. x > 3 — এখন প্রতিটি অঞ্চলের জন্য অসমতাটির মান পরীক্ষা করতে হবে: - যখন **x < 2** (যেমন x=1): 5(1) – (1)² – 6 = 5 – 1 – 6 = -2 < 0 → অসমতা সিদ্ধ হয় না। - যখন **2 < x < 3** (যেমন x=2.5): 5(2.5) – (2.5)² – 6 = 12.5 – 6.25 – 6 = 0.25 > 0 → অসমতা সিদ্ধ হয়। - যখন **x > 3** (যেমন x=4): 5(4) – (4)² – 6 = 20 – 16 – 6 = -2 < 0 → অসমতা সিদ্ধ হয় না। — সুতরাং, অসমতাটি শুধুমাত্র **2 < x < 3** অঞ্চলে সিদ্ধ হয়। --- **বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:** ✗ ক) x > 3, x < 2: এই অপশনটি দুটি আলাদা অঞ্চল নির্দেশ করে, যা অসমতার সমাধান নয়। অসমতার সমাধান একটি অবিচ্ছিন্ন অঞ্চল হওয়া উচিত। ✗ খ) 2 > x > 3: এই অপশনটি অসম্ভব কারণ 2 কখনই 3-এর থেকে বড় নয়। এটি একটি অসঙ্গতিপূর্ণ বিবৃতি। ✗ গ) x < 2: পূর্বের বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় যে, x < 2 অঞ্চলে অসমতাটি সিদ্ধ হয় না। --- **উৎস:** - *Higher Secondary Mathematics (Class XI & XII)*, Bangladesh Textbook Board (গণিত পাঠ্যপুস্তক) - *Quantitative Aptitude* by R.S. Aggarwal (প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষার জন্য প্রস্তুতিমূলক বই) - বিভিন্ন সরকারি চাকরির পরীক্ষার প্রশ্নব্যাংক (BCS, Bank, Primary)