a = √6 + √5 হলে, (a 6 – 1)/a 3 এর মান নির্ণয় কর।

সঠিক উত্তর: (গ) 46√5 <বিষয় সম্পর্কিত ভূমিকা> বিসিএস, ব্যাংক, শিক্ষক নিবন্ধনসহ বিভিন্ন সরকারি চাকরির পরীক্ষায় সাধারণ গণিতের অংশ থেকে প্রায়ই বীজগাণিতিক রাশির মান নির্ণয় সম্পর্কিত প্রশ্ন আসে। এ ধরনের প্রশ্ন সমাধানে সূত্র প্রয়োগ ও সরলীকরণের দক্ষতা প্রয়োজন। উপরের প্রশ্নটি একটি ক্লাসিক উদাহরণ যেখানে প্রদত্ত চলকের সাহায্যে একটি জটিল রাশির মান নির্ণয় করতে হয়। **a = √6 + √5 সম্পর্কে বিস্তারিত তথ্য:** — প্রদত্ত মানটি দুইটি অমূলদ সংখ্যার যোগফল হিসেবে প্রকাশিত। — এ ধরনের মানকে সরলীকরণের জন্য প্রায়শই বিপরীত মান (a = √6 + √5 হলে, 1/a = √6 - √5) ব্যবহৃত হয়। — এখানে (a³ - 1)/a³ কে সরল করতে হবে, যা আসলে 1 - 1/a³ রূপে প্রকাশ করা যায়। — সরলীকরণের জন্য a³ + b³ সূত্র প্রয়োগ করা যেতে পারে যেখানে a = √6, b = √5। **নির্ণেয় রাশির মান নির্ণয় প্রক্রিয়া:** 1. প্রদত্ত মান: a = √6 + √5 2. বিপরীত মান: 1/a = √6 - √5 (কারণ (√6 + √5)(√6 - √5) = 6 - 5 = 1) 3. এখন, (a³ - 1)/a³ = 1 - 1/a³ 4. প্রথমে 1/a³ নির্ণয় করতে হবে: — 1/a = √6 - √5 — 1/a³ = (√6 - √5)³ — (√6 - √5)³ = (√6)³ - 3(√6)²(√5) + 3(√6)(√5)² - (√5)³ — = 6√6 - 3×6×√5 + 3×√6×5 - 5√5 — = 6√6 - 18√5 + 15√6 - 5√5 — = (6√6 + 15√6) + (-18√5 - 5√5) — = 21√6 - 23√5 5. অতএব, (a³ - 1)/a³ = 1 - (21√6 - 23√5) = 1 - 21√6 + 23√5 6. কিন্তু প্রদত্ত প্রশ্নের বিকল্পগুলোতে √6 এর পরিবর্তে √5 রয়েছে। সুতরাং পুনরায় হিসাব করতে হবে। 7. বিকল্পভাবে, সরাসরি a³ নির্ণয় করা যেতে পারে: — a³ = (√6 + √5)³ — = (√6)³ + 3(√6)²(√5) + 3(√6)(√5)² + (√5)³ — = 6√6 + 3×6×√5 + 3×√6×5 + 5√5 — = 6√6 + 18√5 + 15√6 + 5√5 — = (6√6 + 15√6) + (18√5 + 5√5) — = 21√6 + 23√5 8. এখন, (a³ - 1)/a³ =