a m . a n = a m + n কখন হবে?

সঠিক উত্তর: (গ) m ও n ধনাত্মক হলে **ভূমিকা:** গণিতের সূচক বা এক্সপোনেন্টের ক্ষেত্রে সূত্র প্রয়োগের সময় বিভিন্ন শর্তের উপর নির্ভর করে সূত্রের বৈধতা নির্ধারণ করা হয়। সূচকের সূত্রগুলোর মধ্যে অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ সূত্র হলো **aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ**, যার বৈধতা নির্ভর করে সূচকগুলোর মান ও প্রকৃতির উপর। --- **aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ সূত্র সম্পর্কে বিস্তারিত তথ্য:** — সূত্রটি মূলত সূচকের **গুণন বিধি** হিসেবে পরিচিত। সূত্রটি সকল ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়, বরং নির্দিষ্ট শর্তের অধীনে এটি বৈধ। — সূত্রটি বৈধ হওয়ার জন্য **a** অবশ্যই একটি অশূন্য বাস্তব সংখ্যা হতে হবে (a ≠ 0)। কারণ, যদি a = 0 হয়, তাহলে সূচকের মান অনির্ধারিত হয়ে যায়। — সূত্রটি বৈধ হওয়ার জন্য **m** এবং **n** অবশ্যই **ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা** হতে হবে। কারণ, সূচকের সূত্রগুলো প্রাথমিকভাবে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্যই প্রমাণিত। — যদি **m** বা **n** ঋণাত্মক হয়, তাহলে সূত্রটি সাধারণত প্রযোজ্য নয়। উদাহরণস্বরূপ, a⁻² × a³ = a¹, কিন্তু সূত্রটি প্রয়োগ করলে a⁻²⁺³ = a¹ পাওয়া যায়, যা সঠিক। তবে সূত্রটি সাধারণভাবে ধনাত্মক সূচকের জন্যই প্রমাণিত। — যদি **m** বা **n** ভগ্নাংশ বা অমূলদ সংখ্যা হয়, তাহলে সূত্রটি প্রযোজ্য হতে পারে, তবে তা নির্ভর করে সূচকের সংজ্ঞার উপর। উদাহরণস্বরূপ, a^(1/2) × a^(1/2) = a^(1/2 + 1/2) = a¹, যা বৈধ। — সূত্রটি মূলত **ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সূচকের জন্য প্রমাণিত**, তবে অন্যান্য ক্ষেত্রে এটি প্রযোজ্য হতে পারে যদি সূচকের সংজ্ঞা সম্প্রসারিত করা হয়। --- **বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:** ✗ **ক) m ধনাত্মক হলে** — যদি শুধুমাত্র m ধনাত্মক হয়, কিন্তু n ধনাত্মক না হয়, তাহলে সূত্রটি বৈধ নয়। উদাহরণস্বরূপ, a² × a⁻³ = a⁻¹, কিন্তু সূত্রটি প্রয়োগ করলে a²⁻³ = a⁻¹ পাওয়া যায়, যা সঠিক। তবে সূত্রটি সাধারণভাবে ধনাত্মক সূচকের জন্যই প্রমাণিত। তাই শুধুমাত্র m ধনাত্মক হলেই সূত্রটি বৈধ হবে না। ✗ **খ) n ধনাত্মক হলে** — যদি শুধুমাত্র n ধনাত্মক হয়, কিন্তু m ধনাত্মক না হয়, তাহলে সূত্রটি বৈধ নয়। উদাহরণস্বরূপ, a⁻² × a³ = a¹, যা সঠিক। তবে সূত্রটি সাধারণভাবে ধনাত্মক সূচকের জন্যই প্রমাণিত। তাই শুধুমাত্র n ধনাত্মক হলেই সূত্রটি বৈধ হবে না। ✗ **ঘ) m ধনাত্মক ও n ঋণাত্মক হলে** — যদি m ধনাত্মক এবং n ঋণাত্মক হয়, তাহলে সূত্রটি বৈধ