cotθ.√(1 – cos 2 θ) = ?

সঠিক উত্তর: (খ) cosθ ত্রিকোণমিতিক অভেদ ব্যবহার করে সমীকরণটির সমাধান করা যায়। প্রদত্ত রাশিটি হলো: cotθ.√(1 – cos 2θ) <ত্রিকোণমিতিক অভেদ সম্পর্কিত ভূমিকা> ত্রিকোণমিতিক অভেদ হলো এমন সমীকরণ যা ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলোর মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করে। এসব অভেদ বিভিন্ন গাণিতিক সমস্যা সমাধানে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। প্রদত্ত রাশিটিতে 1 – cos 2θ এবং cotθ ব্যবহৃত হয়েছে, যা ত্রিকোণমিতিক অভেদের মাধ্যমে সরলীকরণ করা সম্ভব। **1 – cos 2θ সম্পর্কে বিস্তারিত তথ্য:** — 1 – cos 2θ হলো দ্বিগুণ কোণের একটি অভেদ। এটি নিম্নলিখিতভাবে প্রকাশ করা যায়: 1 – cos 2θ = 2sin²θ (এটি দ্বিগুণ কোণের জন্য পরিচিত অভেদ: cos 2θ = 1 – 2sin²θ থেকে প্রাপ্ত) — উপরের অভেদ ব্যবহার করে প্রদত্ত রাশিটিকে পুনর্লিখন করা যায়: cotθ.√(1 – cos 2θ) = cotθ.√(2sin²θ) — √(2sin²θ) = √2 . |sinθ| (যেহেতু বর্গমূল সর্বদা অঋণাত্মক হয়) তবে θ যদি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত হয় (0 < θ < π/2), তাহলে sinθ > 0, ফলে |sinθ| = sinθ। সুতরাং: √(2sin²θ) = √2 . sinθ — এখন প্রদত্ত রাশিটি দাঁড়ায়: cotθ.√2 . sinθ = (cosθ/sinθ) . √2 . sinθ = √2 . cosθ — তবে প্রদত্ত প্রশ্নে উত্তর হিসেবে শুধুমাত্র cosθ উল্লেখ করা হয়েছে। এটি সম্ভবত সরলীকরণের সময় ধ্রুবক √2 উপেক্ষা করা হয়েছে, যা সাধারণত পরীক্ষার প্রশ্নে গ্রহণযোগ্য নয়। কিন্তু প্রদত্ত প্রশ্নের উত্তর হিসেবে (খ) cosθ নির্বাচিত হয়েছে, যা সম্ভবত সরলীকরণের একটি ধাপের ভিত্তিতে। **বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:** ✗ ক) sinθ: প্রদত্ত রাশিটি সরলীকরণ করলে sinθ পাওয়া যায় না। এটি ভুল কারণ রাশিটিতে cotθ এবং √(1 – cos 2θ) ব্যবহৃত হয়েছে, যা সরাসরি sinθ উৎপন্ন করে না। ✗ গ) tanθ: tanθ = sinθ/cosθ, যা প্রদত্ত রাশির সরলীকরণের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়। ✗ ঘ) cotθ: প্রদত্ত রাশিটি সরলীকরণ করলে cotθ পাওয়া যায় না, কারণ রাশিটিতে √(1 – cos 2θ) ব্যবহৃত হয়েছে, যা সরাসরি cotθ উৎপন্ন করে না। উৎস: — দ্বিগুণ কোণের ত্রিকোণমিতিক অভেদ: *ত্রিকোণমিতি*, লেখক: ড. এ. এম. হারুন অর রশিদ — ১২তম শিক্ষক নিবন্ধন প্রশ্ন সমাধান (কলেজ পর্যায়), প্রকাশক: এমপি থ্রি প্রকাশনী