দুইটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যার বর্গের সমষ্টি ২২১ হলে, ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত?

সঠিক উত্তর: (গ) ১০ দুইটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যার বর্গের সমষ্টি নির্ণয়ের সমস্যা সমাধানের জন্য সাধারণত সংখ্যাগুলোর সম্ভাব্য মান বের করে পরীক্ষা করতে হয়। এ ধরনের সমস্যা সমাধানে সংখ্যার বর্গের মান এবং তাদের যোগফল যাচাই করা হয়। সমস্যার বিবরণ: — দুইটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা ধরি **x** এবং **y**। — প্রদত্ত শর্ত: **x² + y² = ২২১**। — ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি নির্ণয় করতে হবে। সমাধান প্রক্রিয়া: ১. ধরি **x < y** (ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি নির্ণয়ের জন্য)। ২. **x² + y² = ২২১** সমীকরণ থেকে **y² = ২২১ - x²**। ৩. **y²** অবশ্যই একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হতে হবে, তাই **২২১ - x²** একটি পূর্ণবর্গ হতে হবে। ৪. **x** এর সম্ভাব্য মানগুলো পরীক্ষা করা হলো: — **x = ১০** হলে, **x² = ১০০**, তাহলে **y² = ২২১ - ১০০ = ১২১** → **y = ১১** (পূর্ণবর্গ)। — **x = ৮** হলে, **x² = ৬৪**, তাহলে **y² = ২২১ - ৬৪ = ১৫৭** → **y = √১৫৭ ≈ ১২.৫৩** (পূর্ণবর্গ নয়)। — **x = ১১** হলে, **x² = ১২১**, তাহলে **y² = ২২১ - ১২১ = ১০০** → **y = ১০** (পূর্ণবর্গ)। — **x = ১১০** হলে, **x² = ১২১০০**, যা **২২১** থেকে অনেক বেশি (অসম্ভব)। ৫. ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি **x = ১০** এবং **y = ১১**। তাই ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি **১০**। বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ: ✗ ক) ৮: যদি **x = ৮** হয়, তাহলে **y² = ১৫৭** হয়, যা পূর্ণবর্গ নয়। তাই ভুল। ✗ খ) ১১: যদি **x = ১১** হয়, তাহলে **y = ১০** হয়, কিন্তু **x** ক্ষুদ্রতম সংখ্যা নয়। তাই ভুল। ✗ ঘ) ১১০: **x = ১১০** হলে **x² = ১২১০০**, যা **২২১** থেকে অনেক বেশি। তাই অসম্ভব। উৎস: — গণিতের মৌলিক সমীকরণ ও পূর্ণবর্গ সংখ্যা সম্পর্কিত ধারণা। — ১২তম শিক্ষক নিবন্ধন প্রশ্নপত্র (স্কুল পর্যায় – ২), ২০১৫।