একটি মিনারের পাদদেশ হতে ২০ মিটার দূরের একটি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 30° হলে মিনারটির উচ্চতা কত?

সঠিক উত্তর: (খ) 20/√3 মিটার ত্রিকোণমিতির প্রয়োগ ও উন্নতি কোণের ধারণা এই সমস্যাটি সমাধানের জন্য ত্রিকোণমিতির **উন্নতি কোণ (Angle of Elevation)** সম্পর্কিত ধারণা প্রয়োগ করতে হবে। উন্নতি কোণ হলো ভূমির সাথে কোনো বস্তুর শীর্ষবিন্দুর দিকে তাকিয়ে থাকা রেখার সাথে ভূমির সমান্তরাল রেখার অন্তর্ভুক্ত কোণ। এখানে মিনারের পাদদেশ থেকে ২০ মিটার দূরের একটি স্থান থেকে মিনারের শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 30° দেওয়া হয়েছে। এর অর্থ হলো, ভূমির সাথে মিনারের শীর্ষবিন্দুর দিকে তাকিয়ে থাকা রেখাটি ভূমির সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করে। --- **উন্নতি কোণের ধারণা ও সমাধান প্রক্রিয়া:** 1. **চিত্র অঙ্কন:** ধরি, মিনারের উচ্চতা = h মিটার। ভূমি থেকে মিনারের পাদদেশ পর্যন্ত দূরত্ব = 20 মিটার। উন্নতি কোণ = 30°। এখানে একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠিত হবে, যেখানে: - ভূমি = 20 মিটার (সমকোণের বিপরীত বাহু) - লম্ব = h মিটার (মিনারের উচ্চতা) - অতিভুজ = ভূমি ও লম্বের সমন্বয়ে গঠিত রেখা (মিনারের শীর্ষ থেকে ভূমির দিকে তাকানো রেখা) 2. **ত্রিকোণমিতিক অনুপাত প্রয়োগ:** উন্নতি কোণ 30° হওয়ায়, আমরা **tan (উন্নতি কোণ)** ব্যবহার করতে পারি। tan(θ) = বিপরীত বাহু / ভূমি এখানে θ = 30°, বিপরীত বাহু = h, ভূমি = 20 মিটার। সুতরাং, tan(30°) = h / 20 3. **tan(30°) এর মান:** tan(30°) = 1/√3 অতএব, 1/√3 = h / 20 => h = 20 / √3 4. **উত্তর:** মিনারের উচ্চতা = 20 / √3 মিটার। --- **বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:** ✗ **ক) 20√7 মিটার:** - এই উত্তরটি সম্পূর্ণ ভুল কারণ 20√7 মিটার কোনো ত্রিকোণমিতিক সূত্র বা মান থেকে পাওয়া যায় না। এটি সম্ভবত অন্য কোনো সমস্যার সমাধান থেকে নেওয়া হয়েছে। ✗ **গ) 20 মিটার:** - এই উত্তরটি ভুল কারণ এটি শুধুমাত্র ভূমির দূরত্ব নির্দেশ করে, মিনারের উচ্চতা নয়। উন্নতি কোণ 30° হওয়ায় উচ্চতা অবশ্যই ভূমির চেয়ে বেশি হবে। ✗ **ঘ) 10√3 মিটার:** - এই উত্তরটি ভুল কারণ এটি tan(60°) এর মান থেকে পাওয়া যায়, যা এখানে প্রযোজ্য নয়। এখানে উন্নতি কোণ 30°, তাই tan(30°) = 1/√3 ব্যবহার করতে হবে। --- **উৎস:** 1. *ত্রিকোণমিতি* – মাধ্যমিক গণিত পাঠ্যপুস্তক (৯ম-১০ম শ্রেণি) 2. *BCS Preliminary Mathematics* – এমপিআই প্রকাশনী 3. *NTRCA Exam Mathematics*