একটি স্কুলে ছাত্রদের ড্রিল করার সময় ৮, ১০ এবং ১২ সারিতে সাজানো যায়। আবার বর্গাকারেও সাজানো যায়। ঐ স্কুলে কমপক্ষে কতজন ছাত্র আছে?

সঠিক উত্তর: (ক) ৩৬০০ স্কুলে ছাত্রদের বিভিন্নভাবে সাজানোর সমস্যা একটি সাধারণ সংখ্যা তত্ত্বের সমস্যা। এখানে ছাত্রদেরকে ৮, ১০ এবং ১২ সারিতে সাজানো যায় এবং সেই সাথে বর্গাকারেও সাজানো যায়। এর অর্থ হলো ছাত্রসংখ্যা অবশ্যই ৮, ১০ এবং ১২ দ্বারা বিভাজ্য হবে এবং সেই সাথে একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে। **সমস্যার সমাধান:** 1. **৮, ১০ এবং ১২ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা নির্ণয়:** — প্রথমে ৮, ১০ এবং ১২ এর ল.সা.গু. (LCM) নির্ণয় করতে হবে। — ৮ = ২³ — ১০ = ২ × ৫ — ১২ = ২² × ৩ — ল.সা.গু. = ২³ × ৩ × ৫ = ৮ × ৩ × ৫ = ১২০ — সুতরাং, ছাত্রসংখ্যা অবশ্যই ১২০ এর গুণিতক হবে। 2. **বর্গাকার সংখ্যা হওয়ার শর্ত:** — সংখ্যাটি অবশ্যই একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হতে হবে। — ১২০ এর গুণিতকগুলোর মধ্যে ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি নির্ণয় করতে হবে। — ১২০ = ২³ × ৩ × ৫ — পূর্ণবর্গ সংখ্যা হওয়ার জন্য প্রতিটি মৌলিক উৎপাদকের ঘাত জোড় হতে হবে। — সুতরাং, ১২০ কে পূর্ণবর্গ করতে হলে অতিরিক্ত উৎপাদক হিসেবে ২ × ৩ × ৫ = ৩০ গুণ করতে হবে। — ১২০ × ৩০ = ৩৬০০ — ৩৬০০ = ৬০² (যা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা) **বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:** ✗ খ) ২৪০০: ২৪০০ হলো ১২০ এর গুণিতক (১২০ × ২০), কিন্তু এটি পূর্ণবর্গ নয় (√২৪০০ ≈ ৪৮.৯৯)। ✗ গ) ১২০০: ১২০০ হলো ১২০ এর গুণিতক (১২০ × ১০), কিন্তু এটি পূর্ণবর্গ নয় (√১২০০ ≈ ৩৪.৬৪)। ✗ ঘ) ৩০০০: ৩০০০ হলো ১২০ এর গুণিতক নয় (৩০০০ ÷ ১২০ = ২৫, যা পূর্ণসংখ্যা নয়)। উৎস: — গণিতের সংখ্যা তত্ত্ব বিষয়ক বিভিন্ন বই (যেমন: *Higher Algebra* by Hall & Knight)। — প্রাথমিক গণিত ও সাধারণ জ্ঞানের প্রশ্নব্যাংক (BCS, Bank, Primary পরীক্ষার জন্য)।