একটি সমান্তর অনুক্রমে 5ম পদটি 18 এবং প্রথম 5টি পদের যোগফল 75 হলে প্রথম পদটি কত?

সঠিক উত্তর: (ঘ) 12 **সমান্তর অনুক্রম সম্পর্কিত ভূমিকা:** সমান্তর অনুক্রম (Arithmetic Sequence) হলো এমন একটি সংখ্যা অনুক্রম যেখানে প্রতিটি পদ পূর্ববর্তী পদ থেকে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা (সাধারণ অন্তর) দ্বারা বৃদ্ধি বা হ্রাস পায়। একে ইংরেজিতে **Arithmetic Progression (AP)** বলা হয়। সমান্তর অনুক্রমের ক্ষেত্রে পদগুলো নির্ণয়ের জন্য কয়েকটি সূত্র ব্যবহৃত হয়, যার মধ্যে অন্যতম হলো: - nতম পদ = a + (n-1)d - প্রথম nটি পদের যোগফল = n/2 × {2a + (n-1)d} এখানে, a = প্রথম পদ, d = সাধারণ অন্তর, n = পদসংখ্যা। --- **সমস্যার সমাধান:** প্রদত্ত তথ্য: - ৫ম পদ = 18 - প্রথম ৫টি পদের যোগফল = 75 ধরি, প্রথম পদ = a সাধারণ অন্তর = d ১ম পদ = a ২য় পদ = a + d ৩য় পদ = a + 2d ৪র্থ পদ = a + 3d ৫ম পদ = a + 4d প্রশ্নানুসারে, ৫ম পদ = a + 4d = 18 ...(i) আবার, প্রথম ৫টি পদের যোগফল = a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) + (a + 4d) = 5a + 10d = 75 => 5a + 10d = 75 => a + 2d = 15 ...(ii) (উভয় পক্ষকে 5 দ্বারা ভাগ করে) এখন, সমীকরণ (i) ও (ii) সমাধান করি: (i) a + 4d = 18 (ii) a + 2d = 15 (ii) থেকে পাই, a = 15 - 2d এই মান (i) তে বসিয়ে পাই: (15 - 2d) + 4d = 18 => 15 + 2d = 18 => 2d = 3 => d = 1.5 এখন, a = 15 - 2d = 15 - 2(1.5) = 15 - 3 = 12 অতএব, প্রথম পদ = a = 12 --- **বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:** ✗ ক) 2: যদি প্রথম পদ 2 ধরা হয়, তাহলে সাধারণ অন্তর নির্ণয় করা যায় না এবং যোগফলও মিলবে না। এটি ভুল। ✗ খ) 10: প্রথম পদ 10 ধরে সমাধান করলে যোগফল 75 হবে না। এটি ভুল। ✗ গ) 4: প্রথম পদ 4 ধরে সমাধান করলে ৫ম পদ 18 হবে না। এটি ভুল। --- **উৎস:** 1. "গণিত পরিচিতি" (৯ম-১০ম শ্রেণি), জাতীয় শিক্ষাক্রম ও পাঠ্যপুস্তক বোর্ড, বাংলাদেশ। 2. "Higher Secondary Mathematics" (Class XI & XII), Bangladesh Textbook Board. 3. বিভিন্ন সরকারি চাকরির পরীক্ষার প্রশ্নব্যাংক (BCS, Bank, Primary)।