যদি x 3 +hx+10=0 এর একটি সমাধান 2 হয়, তবে h এর মান কত?

সঠিক উত্তর: (গ) -9 **ভূমিকা:** বাংলাদেশের সরকারি চাকরির পরীক্ষাগুলোতে (BCS, Bank, Primary, NTRCA) বহুপদী সমীকরণের মান নির্ণয় সম্পর্কিত প্রশ্ন প্রায়ই আসে। এরূপ প্রশ্ন সমাধানে মূলত বহুপদীর মূল প্রতিস্থাপন পদ্ধতি ব্যবহৃত হয়। উপরের প্রশ্নটিও বহুপদী সমীকরণের একটি সমাধান দেওয়া থাকায় অপর অজানা ধ্রুবকের মান নির্ণয় সম্পর্কিত। **সমীকরণ: \(x^3 + hx + 10 = 0\) সম্পর্কে বিস্তারিত তথ্য:** — প্রদত্ত বহুপদী সমীকরণটি একটি ত্রিঘাত সমীকরণ (Cubic Equation), যার সাধারণ রূপ হলো: \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\)। — এখানে, \(a = 1\), \(b = 0\) (কারণ \(x^2\) এর সহগ শূন্য), \(c = h\), এবং ধ্রুবক পদ \(d = 10\)। — সমীকরণটির একটি সমাধান (Root) দেওয়া আছে: \(x = 2\)। এর অর্থ হলো, \(x = 2\) সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে অর্থাৎ সমীকরণে \(x = 2\) বসালে সমীকরণটি শূন্য হবে। — বহুপদী সমীকরণের মূল প্রতিস্থাপন পদ্ধতি অনুসারে, যদি \(x = r\) সমীকরণের একটি সমাধান হয়, তবে \(r\) কে সমীকরণে প্রতিস্থাপন করলে সমীকরণটি শূন্য হবে। **h এর মান নির্ণয়:** — প্রদত্ত সমীকরণ: \(x^3 + hx + 10 = 0\)। — \(x = 2\) সমীকরণটির সমাধান হওয়ায়, \(x = 2\) প্রতিস্থাপন করলে সমীকরণটি শূন্য হবে: \(2^3 + h \cdot 2 + 10 = 0\) \(8 + 2h + 10 = 0\) \(18 + 2h = 0\) \(2h = -18\) \(h = -9\) **বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:** ✗ ক) 10: ভুল কারণ, \(h = 10\) হলে সমীকরণটি \(x^3 + 10x + 10 = 0\) হবে, যা \(x = 2\) দ্বারা সিদ্ধ হয় না। ✗ খ) 9: ভুল কারণ, \(h = 9\) হলে সমীকরণটি \(x^3 + 9x + 10 = 0\) হবে, যা \(x = 2\) দ্বারা সিদ্ধ হয় না। ✗ ঘ) -2: ভুল কারণ, \(h = -2\) হলে সমীকরণটি \(x^3 - 2x + 10 = 0\) হবে, যা \(x = 2\) দ্বারা সিদ্ধ হয় না। **উৎস:** — উচ্চ মাধ্যমিক গণিত (একাদশ-দ্বাদশ শ্রেণি), বাংলাদেশ জাতীয় শিক্ষাক্রম ও পাঠ্যপুস্তক বোর্ড (NCTB)। — বিসিএস প্রিলিমিনারি পরীক্ষার গণিত বিষয়ক প্রশ্নব্যাংক (বিভিন্ন প্রকাশনী)।