কোন শর্তে log a ¹ = 0 ?

সঠিক উত্তর: (ক) a > 0, a ≠ 1 **লগারিদমের সূচনা ও প্রাথমিক ধারণা:** লগারিদম হলো সূচকের বিপরীত প্রক্রিয়া। কোনো ধনাত্মক সংখ্যা a-এর ভিত্তিতে অন্য একটি ধনাত্মক সংখ্যা b-এর লগারিদম হলো সেই সূচক যার জন্য a-এর সেই সূচকটি b-এর সমান হয়। অর্থাৎ, যদি \( a^x = b \) হয়, তাহলে \( \log_a b = x \)। লগারিদমের এই মৌলিক সূত্রটি বিভিন্ন গাণিতিক সমস্যা সমাধানে ব্যবহৃত হয়, বিশেষত BCS, Bank, Primary ও NTRCA পরীক্ষায়। **লগারিদমের সূচক সম্পর্কিত শর্তাবলি:** লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী, \( \log_a b = x \) হলে \( a^x = b \) হয়। এখানে কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ শর্ত রয়েছে: — ভিত্তি \( a \) অবশ্যই ধনাত্মক সংখ্যা হতে হবে, অর্থাৎ \( a > 0 \)। — ভিত্তি \( a \) কখনোই 1 হতে পারবে না, অর্থাৎ \( a \neq 1 \)। — লগারিদমের আর্গুমেন্ট \( b \) অবশ্যই ধনাত্মক সংখ্যা হতে হবে, অর্থাৎ \( b > 0 \)। **\( \log_a 1 = 0 \) এর ব্যাখ্যা:** প্রশ্নে উল্লেখিত \( \log_a 1 = 0 \) এর ক্ষেত্রে আমরা জানি যে, যেকোনো ধনাত্মক সংখ্যার 0 তম ঘাত 1 হয়। অর্থাৎ, \( a^0 = 1 \)। তাই, \( \log_a 1 = 0 \) সত্য হওয়ার জন্য ভিত্তি \( a \) অবশ্যই ধনাত্মক হতে হবে এবং \( a \neq 1 \) হতে হবে। কারণ, যদি \( a = 1 \) হয়, তাহলে \( \log_1 1 \) অসংজ্ঞায়িত হয়ে যায়, কারণ 1-এর যেকোনো ঘাতই 1 হয়, ফলে নির্দিষ্ট কোনো সূচক পাওয়া যায় না। **বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:** ✗ খ) a ≠ 0 , a > 1: — এই শর্তটি ভুল কারণ ভিত্তি \( a \) অবশ্যই ধনাত্মক হতে হবে, কিন্তু \( a > 1 \) হলেও \( a = 1 \) হতে পারে না। তাই এই শর্তটি সম্পূর্ণ নয়। — এছাড়া, \( a \neq 0 \) হলেও \( a < 0 \) হলে লগারিদম অসংজ্ঞায়িত হয়ে যায়। ✗ গ) a > 0 , a = 1: — এই শর্তটি ভুল কারণ ভিত্তি \( a \) কখনোই 1 হতে পারবে না। যদি \( a = 1 \) হয়, তাহলে \( \log_1 1 \) অসংজ্ঞায়িত হয়ে যায়। ✗ ঘ) a ≠ 1, a < 0: — এই শর্তটি ভুল কারণ ভিত্তি \( a \) অবশ্যই ধনাত্মক হতে হবে। যদি \( a < 0 \) হয়, তাহলে লগারিদম অসংজ্ঞায়িত হয়ে যায়। **উৎস:** - "উচ্চ মাধ্যমিক গণিত" (এইচএসসি পাঠ্যপুস্তক), বাংলাদেশ জাতীয় শিক্ষাক্রম ও পাঠ্যপুস্তক বোর্ড। - "লগারিদম ও সূচক" — গণিত বিষয়ক বিভিন্ন প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষার প্রশ্নব্যাংক। - "BCS সাধারণ গণিত" — বিভিন্ন প্রকাশন