log a x=1, log a y=2, log a z=3 হলে, log a (x 3 y 2 /z) এর মান কত?

সঠিক উত্তর: (খ) 4 **ভূমিকা:** সাধারণ জ্ঞান বিভাগের অধীনে গণিত ও বীজগণিতের সমীকরণ সম্পর্কিত সমস্যাগুলো প্রায়ই সরকারি চাকরির পরীক্ষায় আসে। এই ধরনের প্রশ্নের সমাধানে লগারিদমের সূত্রাবলি সম্পর্কে স্পষ্ট ধারণা থাকা অত্যন্ত জরুরি। উপরের প্রশ্নটি লগারিদমের সূত্র প্রয়োগ করে সমাধান করতে হবে। --- **লগারিদম সম্পর্কে বিস্তারিত তথ্য:** — লগারিদম হলো এমন একটি গাণিতিক অপারেশন যা সূচকের বিপরীত ক্রিয়া হিসেবে কাজ করে। যদি \( a^b = c \) হয়, তাহলে \( \log_a c = b \) লেখা হয়। — লগারিদমের প্রধান সূত্রসমূহ: 1. \( \log_a (xy) = \log_a x + \log_a y \) 2. \( \log_a \left( \frac{x}{y} \right) = \log_a x - \log_a y \) 3. \( \log_a (x^n) = n \log_a x \) 4. \( \log_a a = 1 \) (যেহেতু \( a^1 = a \)) 5. \( \log_a 1 = 0 \) (যেহেতু \( a^0 = 1 \)) — প্রদত্ত সমস্যাটিতে উল্লিখিত সমীকরণগুলো হলো: \( \log_a x = 1 \) ⇒ \( x = a^1 = a \) \( \log_a y = 2 \) ⇒ \( y = a^2 \) \( \log_a z = 3 \) ⇒ \( z = a^3 \) --- **সমাধান প্রক্রিয়া:** প্রদত্ত সমীকরণ: \( \log_a \left( \frac{x^3 y^2}{z} \right) \) ধাপ ১: সূত্র প্রয়োগ করে ভগ্নাংশকে আলাদা করা: \( \log_a \left( \frac{x^3 y^2}{z} \right) = \log_a (x^3 y^2) - \log_a z \) ধাপ ২: গুণফলের লগারিদমকে যোগফলে রূপান্তর করা: \( \log_a (x^3 y^2) = \log_a (x^3) + \log_a (y^2) \) ধাপ ৩: সূচকের লগারিদম সূত্র প্রয়োগ করা: \( \log_a (x^3) = 3 \log_a x \) \( \log_a (y^2) = 2 \log_a y \) ধাপ ৪: প্রদত্ত মানগুলো প্রতিস্থাপন করা: \( \log_a x = 1 \), \( \log_a y = 2 \), \( \log_a z = 3 \) সুতরাং, \( 3 \log_a x + 2 \log_a y - \log_a z = 3(1) + 2(2) - 3 = 3 + 4 - 3 = 4 \) --- **বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:** ✗ ক) 1: এই উত্তরটি আসতে পারে যদি কেউ সূত্রগুলো ভুলভাবে প্রয়োগ করে অথবা যোগফলের পরিবর্তে গুণফল হিসেবে বিবেচনা করে। ✗ গ) 2: এই উত্তরটি আসতে পারে যদি কেউ সূচকের মানগুলো ভুলভাবে যোগ বা বিয়োগ করে অথবা সূত্র প্রয়োগে ভুল করে। ✗ ঘ) 5: এই উত্তরটি আসতে পারে যদি কেউ সূত্র প্রয়োগে অতিরিক্ত যোগ বা বিয়োগ করে অথবা মানগুলো ভুলভাবে প্রতিস্থাপন করে। ---