ত্রিকোণমিতিক অনুপাতে কোন সম্পর্কটি ব্যবহার করা হয়?

সঠিক উত্তর: (খ) sin²θ = 1 – cos²θ ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের মৌলিক সম্পর্কসমূহের মধ্যে **পিথাগোরিয়ান পরিচয় (Pythagorean Identity)** একটি গুরুত্বপূর্ণ সূত্র, যা যেকোনো কোণের জন্য প্রযোজ্য। এই সূত্রটি ত্রিকোণমিতির প্রায় সব ক্ষেত্রেই ব্যবহৃত হয়, যেমন ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধান, সমাকলন, এবং বিভিন্ন গাণিতিক বিশ্লেষণে। --- **পিথাগোরিয়ান পরিচয় সম্পর্কে বিস্তারিত তথ্য:** — **মৌলিক সূত্র**: sin²θ + cos²θ = 1 — এটি ত্রিকোণমিতির সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ পরিচয়গুলোর মধ্যে একটি, যা এককের বৃত্ত (Unit Circle) থেকে উদ্ভূত। — এই সূত্রটি প্রমাণ করা যায় পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে। এককের বৃত্তে কোনো কোণ θ-এর জন্য, sinθ হলো y-স্থানাঙ্ক এবং cosθ হলো x-স্থানাঙ্ক। তাই, sin²θ + cos²θ = 1 (কারণ x² + y² = 1)। — এই সূত্র থেকে আরও দুটি পরিচয় পাওয়া যায়: 1. sin²θ = 1 – cos²θ 2. cos²θ = 1 – sin²θ — এই পরিচয়গুলো ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধানের সময় প্রায়শই ব্যবহৃত হয়, যেমন sinθ = √(1 – cos²θ) বা cosθ = √(1 – sin²θ) ইত্যাদি। — এটি ত্রিকোণমিতিক সমাকলনের ক্ষেত্রেও গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে, যেমন ∫sin²θ dθ বা ∫cos²θ dθ সমাধানে। --- **বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:** ✗ **ক) sinθ = 1 + cos²θ**: — এই সমীকরণটি ত্রিকোণমিতির কোনো পরিচিত সূত্র নয়। এটি সঠিক নয় কারণ sinθ-এর সর্বোচ্চ মান 1, কিন্তু 1 + cos²θ-এর সর্বনিম্ন মান 1 (কারণ cos²θ ≥ 0)। তাই, sinθ = 1 + cos²θ কখনই সত্য হতে পারে না। ✗ **গ) sin²θ – cos²θ = 1**: — এই সমীকরণটি ত্রিকোণমিতির কোনো পরিচিত সূত্র নয়। প্রকৃতপক্ষে, sin²θ – cos²θ = –cos(2θ) (দ্বিগুণ কোণের সূত্র থেকে প্রাপ্ত)। এটি কখনই 1-এর সমান হতে পারে না, কারণ sin²θ এবং cos²θ-এর মান সর্বদা 0 থেকে 1-এর মধ্যে থাকে। ✗ **ঘ) sin²θ = 1/cosθ**: — এই সমীকরণটি ত্রিকোণমিতির কোনো পরিচিত সূত্র নয়। এটি সঠিক নয় কারণ sin²θ-এর মান সর্বদা 0 থেকে 1-এর মধ্যে থাকে, কিন্তু 1/cosθ-এর মান অসীম থেকে শুরু করে যেকোনো মান গ্রহণ করতে পারে (যখন cosθ = 0)। তাই, এই সমীকরণটি সাধারণভাবে সত্য নয়। --- উৎস: - *ত্রিকোণমিতি* – ড. এম. শামসুল আলম, বাংলা একাডেমি প্রকাশিত। - *Higher Secondary Mathematics* – Bangladesh Textbook Board ( NCTB )। - *Trigonometry* – I.M. Gelfand, Mark Saul (গণিতের মৌলিক সূত্রের উপর ভিত্তি করে)।