x 2 – 3x + 1 = 0 হলে (x 2 – 1/x 2 ) এর মান কত?

সঠিক উত্তর: (খ) 3√5 **ভূমিকা:** বাংলাদেশের সরকারি চাকরির পরীক্ষাগুলোতে সাধারণত গণিত ও মানসিক দক্ষতা অংশে সমীকরণ ও বীজগাণিতিক সমস্যাবলি অন্তর্ভুক্ত থাকে। এই ধরনের সমস্যাগুলো সমাধানে সূত্র প্রয়োগ ও যৌক্তিক বিশ্লেষণের দক্ষতা প্রয়োজন। প্রদত্ত সমীকরণের সাহায্যে (x² – 1/x²) এর মান নির্ণয় একটি সাধারণ বীজগাণিতিক সমস্যা, যা বিভিন্ন প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায় দেখা যায়। **প্রদত্ত সমীকরণ সম্পর্কিত তথ্য:** — প্রদত্ত সমীকরণ: x² – 3x + 1 = 0 — এখানে x একটি চলক যার মান নির্ণয় করা প্রয়োজন নয়, বরং x² – 1/x² এর মান নির্ণয় করতে হবে। — সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হওয়ায় এর মূল দুটি হবে, কিন্তু সরাসরি মূল নির্ণয় না করে সমীকরণের ধর্ম ব্যবহার করে মান নির্ণয় করা যেতে পারে। **সমাধান পদ্ধতি:** 1. প্রদত্ত সমীকরণ থেকে x² = 3x – 1 পাওয়া যায়। 2. এখন, (x² – 1/x²) = (x – 1/x)(x + 1/x) হিসেবে প্রকাশ করা যায়। 3. প্রথমে x + 1/x এর মান নির্ণয় করতে হবে: — x² – 3x + 1 = 0 ⇒ x² + 1 = 3x ⇒ x + 1/x = 3 (উভয় পক্ষকে x দ্বারা ভাগ করে) 4. এরপর x – 1/x এর মান নির্ণয় করতে হবে: — (x – 1/x)² = (x + 1/x)² – 4 = 3² – 4 = 9 – 4 = 5 ⇒ x – 1/x = √5 5. এখন, (x² – 1/x²) = (x – 1/x)(x + 1/x) = √5 × 3 = 3√5 **বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:** ✗ (ক) 5√3: এটি ভুল কারণ x + 1/x = 3 এবং x – 1/x = √5 হওয়ায় গুণফল 3√5 হওয়া উচিত, 5√3 নয়। ✗ (গ) 4√5: এটি ভুল কারণ গুণফল নির্ণয়ে ভুল হয়েছে। সঠিক গুণফল 3√5 হওয়া উচিত। ✗ (ঘ) 6√5: এটি ভুল কারণ x + 1/x = 3 এবং x – 1/x = √5 হওয়ায় গুণফল 3√5 হওয়া উচিত, 6√5 নয়। **উৎস:** — মাধ্যমিক ও উচ্চ মাধ্যমিক গণিত বই (দ্বাদশ শ্রেণি) — বিসিএস প্রিলিমিনারি পরীক্ষার প্রশ্ন ব্যাংক (গণিত অংশ) — বিভিন্ন সরকারি চাকরির পরীক্ষার গণিত গাইডবুক