x 2 – 8x – 8y + 16 + y 2 এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণ বর্গ হবে?

সঠিক উত্তর: (ঘ) 2xy বিষয় সম্পর্কিত ভূমিকা: বাংলাদেশের সরকারি চাকরির পরীক্ষাগুলোতে সাধারণত গণিত ও বীজগণিতের সমীকরণ সম্পর্কিত প্রশ্ন থাকে। এই ধরনের প্রশ্নের সমাধান করার জন্য পূর্ণ বর্গের ধারণা জানা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। উপরের প্রশ্নটি একটি দ্বিপদী সমীকরণকে পূর্ণ বর্গ রূপান্তর করার জন্য প্রয়োজনীয় পদ নির্ণয় করতে বলা হয়েছে। x² – 8x – 8y + 16 + y² এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণ বর্গ হবে? সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: x² – 8x – 8y + 16 + y² এটি পুনরায় সাজিয়ে লেখা যায়: x² – 8x + y² – 8y + 16 এখন, x² – 8x এবং y² – 8y আলাদাভাবে পূর্ণ বর্গ করার চেষ্টা করা যাক। 1. x² – 8x কে পূর্ণ বর্গ করতে হলে এর সাথে 16 যোগ করতে হবে, কারণ (x – 4)² = x² – 8x + 16। 2. y² – 8y কে পূর্ণ বর্গ করতে হলে এর সাথে 16 যোগ করতে হবে, কারণ (y – 4)² = y² – 8y + 16। কিন্তু প্রদত্ত সমীকরণে ইতিমধ্যেই 16 আছে। তাই, x² – 8x + 16 = (x – 4)² এবং y² – 8y + 16 = (y – 4)²। এখন, প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: (x – 4)² + (y – 4)² – 16 এটি পূর্ণ বর্গ নয়, কারণ দুটি পৃথক বর্গের যোগফল। এটিকে একটি একক পূর্ণ বর্গ করতে হলে, আমাদের এমন একটি পদ যোগ করতে হবে যা দুটি বর্গকে একত্রিত করতে পারে। সেই পদটি হলো 2xy। কারণ: (x – 4 + y – 4)² = (x + y – 8)² = x² + y² + 64 + 2xy – 8x – 8y এটি প্রদত্ত সমীকরণের সাথে মিলে যায় যদি আমরা 2xy যোগ করি। বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ: ✗ ক) – 2xy: এটি যোগ করলে সমীকরণটি পূর্ণ বর্গ হবে না, বরং আরও জটিল হয়ে উঠবে। ✗ খ) 8xy: এটি যোগ করলে সমীকরণটি পূর্ণ বর্গ হবে না, কারণ এটি অতিরিক্ত পদ যোগ করবে যা প্রয়োজন নেই। ✗ গ) 6xy: এটি যোগ করলে সমীকরণটি পূর্ণ বর্গ হবে না, কারণ এটি সঠিক মানের কাছাকাছি হলেও যথেষ্ট নয়। উৎস: 1. মাধ্যমিক গণিত পাঠ্যপুস্তক (৯ম-১০ম শ্রেণি), বাংলাদেশ জাতীয় শিক্ষাক্রম ও পাঠ্যপুস্তক বোর্ড। 2. গণিত বিষয়ক বিভিন্ন প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষার প্রশ্নব্যাংক। 3. উচ্চ মাধ্যমিক গণিত পাঠ্যপুস্তক (১ম ও ২য় পত্র), বাংলাদেশ জাতীয় শিক্ষাক্রম ও পাঠ্যপুস্তক বোর্ড।