x+1/x = √3 হলে, x 3 +1/x 3 এর মান ___ .

সঠিক উত্তর: (গ) 0 **ভূমিকা:** বীজগণিতের সমীকরণ সমাধানের ক্ষেত্রে বহুপদী রাশির মান নির্ণয় একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয়। বিশেষ করে, যখন কোনো সমীকরণে \( x + \frac{1}{x} \) এর মান দেওয়া থাকে, তখন \( x^3 + \frac{1}{x^3} \) এর মান নির্ণয় করার জন্য নির্দিষ্ট সূত্র প্রয়োগ করা হয়। এ ধরনের সমস্যা বিভিন্ন প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষা যেমন BCS, NTRCA, Bank এবং Primary শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষায় প্রায়শই আসে। --- **\( x^3 + \frac{1}{x^3} \) সম্পর্কিত বিস্তারিত তথ্য:** — **প্রাথমিক সূত্র:** \( x^3 + \frac{1}{x^3} = \left( x + \frac{1}{x} \right)^3 - 3 \left( x + \frac{1}{x} \right) \) এই সূত্রটি বহুপদী রাশির মান নির্ণয়ে ব্যবহৃত হয়। — **প্রদত্ত মান:** \( x + \frac{1}{x} = \sqrt{3} \) — **মান নির্ণয়:** 1. প্রদত্ত সূত্রে \( x + \frac{1}{x} = \sqrt{3} \) বসিয়ে পাই: \( x^3 + \frac{1}{x^3} = (\sqrt{3})^3 - 3 \times \sqrt{3} \) 2. \( (\sqrt{3})^3 = 3\sqrt{3} \) 3. অতএব, \( x^3 + \frac{1}{x^3} = 3\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 0 \) — **বিকল্প পদ্ধতি:** \( x^3 + \frac{1}{x^3} \) কে \( \left( x + \frac{1}{x} \right) \left( x^2 - 1 + \frac{1}{x^2} \right) \) হিসেবে প্রকাশ করা যায়। 1. \( x^2 + \frac{1}{x^2} = \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 - 2 = (\sqrt{3})^2 - 2 = 3 - 2 = 1 \) 2. অতএব, \( x^2 - 1 + \frac{1}{x^2} = 1 - 1 = 0 \) 3. ফলে, \( x^3 + \frac{1}{x^3} = \sqrt{3} \times 0 = 0 \) --- **বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:** ✗ **ক) 2**: এই মানটি সঠিক নয় কারণ প্রদত্ত সূত্র অনুযায়ী মান শূন্য হওয়া উচিত। ✗ **খ) 4**: এই মানটি সঠিক নয় কারণ সূত্র প্রয়োগ করলে মান শূন্য পাওয়া যায়। ✗ **ঘ) 6**: এই মানটি সঠিক নয় কারণ সূত্র অনুযায়ী মান শূন্য হওয়া উচিত। --- **উৎস:** - গণিতের বহুপদী রাশি বিষয়ক বই (যেমন: *Higher Algebra* by Hall & Knight) - বিভিন্ন প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষার প্রশ্নপত্র (BCS, Bank, NTRCA) - গণিত বিষয়ক অনলাইন রিসোর্স (যেমন: Khan Academy, Math is Fun)