১৮ ফুট উঁচু একটি গাছ এমনভাবে ভেঙ্গে গেল যে, ভাঙা অংশটি বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির মাথে ৩০ ০ কোণ উৎপন্ন করল। গাছটি মাটি থেকে কত উঁচুতে ভেঙ্গে ছিল?

সঠিক উত্তর: (ঘ) ৬ ফুট **ভূমিকা:** গণিতের ত্রিকোণমিতি বিষয়ক সমস্যা সমাধানে ভূমির সাথে কোন উৎপন্ন হলে সেই কাঠামোর উচ্চতা নির্ণয় করা একটি সাধারণ ধারণা। উপরের প্রশ্নটি ত্রিকোণমিতির একটি সরল প্রয়োগ যেখানে একটি গাছ ভেঙ্গে ভূমির সাথে ৩০° কোণ উৎপন্ন করেছে। এরূপ সমস্যা সমাধানের জন্য ত্রিকোণমিতির সূত্র প্রয়োগ করা হয়। --- **গাছ ভেঙ্গে যাওয়া সম্পর্কিত বিস্তারিত তথ্য:** — গাছটির মোট উচ্চতা **১৮ ফুট**। — গাছটি এমনভাবে ভেঙ্গেছে যে ভাঙা অংশটি বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে **৩০° কোণ** উৎপন্ন করেছে। — ভাঙা অংশটি ভূমির সাথে ত্রিভুজের একটি বাহু হিসেবে কাজ করছে। — ভূমির সাথে উৎপন্ন কোণ **৩০°** হওয়ায় ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে। — ভূমির সাথে লম্বভাবে দাঁড়িয়ে থাকা অংশের উচ্চতাকে **h** ধরা যেতে পারে। — ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য হবে **১৮ - h** ফুট (যেহেতু মোট উচ্চতা ১৮ ফুট)। ত্রিকোণমিতির সূত্র প্রয়োগ করে: sin(θ) = বিপরীত বাহু / অতিভুজ এখানে θ = ৩০°, বিপরীত বাহু = h, অতিভুজ = ১৮ - h sin(৩০°) = ১/২ সুতরাং, h / (১৮ - h) = ১/২ => ২h = ১৮ - h => ৩h = ১৮ => h = ৬ ফুট অর্থাৎ, গাছটি মাটি থেকে **৬ ফুট** উঁচুতে ভেঙ্গে ছিল। --- **বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:** ✗ ক) ১৫ ফুট: এই উত্তরটি সঠিক নয় কারণ যদি গাছটি ১৫ ফুট উঁচুতে ভেঙ্গে থাকে, তাহলে ভাঙা অংশটির দৈর্ঘ্য হবে ৩ ফুট। কিন্তু ৩০° কোণে অবস্থান করলে ভূমির সাথে লম্ব অংশটি ১৫ ফুট হওয়া সম্ভব নয়। ✗ খ) ১২ ফুট: এই উত্তরটি সঠিক নয় কারণ যদি গাছটি ১২ ফুট উঁচুতে ভেঙ্গে থাকে, তাহলে ভাঙা অংশটির দৈর্ঘ্য হবে ৬ ফুট। কিন্তু ৩০° কোণে অবস্থান করলে ভূমির সাথে লম্ব অংশটি ১২ ফুট হওয়া সম্ভব নয়। ✗ গ) ৯ ফুট: এই উত্তরটি সঠিক নয় কারণ যদি গাছটি ৯ ফুট উঁচুতে ভেঙ্গে থাকে, তাহলে ভাঙা অংশটির দৈর্ঘ্য হবে ৯ ফুট। কিন্তু ৩০° কোণে অবস্থান করলে ভূমির সাথে লম্ব অংশটি ৯ ফুট হওয়া সম্ভব নয়। --- **উৎস:** - ত্রিকোণমিতি বিষয়ক বই: *ত্রিকোণমিতি ও পরিমিতি* (ড. দেবাশীষ চক্রবর্তী) - গণিত বিষয়ক সমস্যা সমাধানের জন্য ব্যবহৃত সাধারণ সূত্রাবলি। - শিক্ষক নিবন্ধন পরীক্ষার প্রশ্নব্যাংক (কলেজ পর্যায়)।