a 2 – b 2 = 8 এবং ab = 3 হলে a 2 + b 2 = কত?

সঠিক উত্তর: (খ) 10 **বীজগণিতের সূত্র ও মান নির্ণয় সম্পর্কিত সমস্যা সমাধান** প্রদত্ত সমস্যাটিতে দুইটি চলক \( a \) এবং \( b \) সম্পর্কে দুটি সমীকরণ দেওয়া হয়েছে: 1. \( a^2 - b^2 = 8 \) 2. \( ab = 3 \) আমাদেরকে \( a^2 + b^2 \) এর মান নির্ণয় করতে হবে। --- **সমাধান পদ্ধতি:** 1. **বর্গের সূত্র প্রয়োগ:** আমরা জানি, \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \] এবং \[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \] 2. **উভয় সূত্র যোগ করলে:** \[ (a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2) \] কিন্তু এখানে আমাদের কাছে \( a^2 - b^2 \) দেওয়া আছে, যা হলো: \[ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) = 8 \] 3. **আমরা \( a^2 + b^2 \) নির্ণয়ের জন্য নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করতে পারি:** \[ (a^2 + b^2)^2 = (a^2 - b^2)^2 + (2ab)^2 \] প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী: \[ a^2 - b^2 = 8 \quad \text{এবং} \quad ab = 3 \implies 2ab = 6 \] অতএব, \[ (a^2 + b^2)^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \] \[ \implies a^2 + b^2 = \sqrt{100} = 10 \] (যেহেতু \( a^2 + b^2 \) সর্বদা ধনাত্মক হয়) --- **বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:** ✗ **ক) ± 10**: এটি ভুল কারণ \( a^2 + b^2 \) সর্বদা ধনাত্মক হয়, তাই ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়। ✗ **গ) ± 11**: এটি ভুল কারণ প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী \( a^2 + b^2 = 10 \), ১১ নয়। ✗ **ঘ) 11**: এটি ভুল কারণ সূত্র প্রয়োগ করলে দেখা যায় মান ১০, ১১ নয়। --- **উৎস:** 1. মাধ্যমিক গণিত বই (৯ম-১০ম শ্রেণি), বাংলাদেশ জাতীয় শিক্ষাক্রম ও পাঠ্যপুস্তক বোর্ড। 2. বিসিএস গণিত গাইড (২য় সংস্করণ), এমপি থ্রি প্রকাশনী। 3. ১৪তম শিক্ষক নিবন্ধন প্রশ্নপত্র (স্কুল পর্যায়-২), ২০২৩।