a = 3 1/3 + 3 -1/3 হলে 3a 3 – 9a + 1 এর মান কত?

সঠিক উত্তর: (ঘ) 11 **ভূমিকা:** ১৪তম শিক্ষক নিবন্ধন পরীক্ষা (স্কুল পর্যায়-২)-এর গণিত বিষয়ের একটি গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন হলো ভগ্নাংশ ও সূচক সংক্রান্ত সমস্যা সমাধান। এ ধরনের প্রশ্নে সাধারণত ভগ্নাংশের যোগ-বিয়োগ, সূচকীয় রাশির সরলীকরণ এবং বহুপদীর মান নির্ণয় করতে হয়। এখানে প্রদত্ত সমস্যাটি সমাধানের জন্য ভগ্নাংশের সরলীকরণ এবং বহুপদীর মান নির্ণয়ের সূত্র প্রয়োগ করতে হবে। **প্রদত্ত তথ্য বিশ্লেষণ:** — প্রদত্ত রাশি: \( a = 3\frac{1}{3} + 3^{-\frac{1}{3}} \) — প্রথমে মিশ্র ভগ্নাংশকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশে রূপান্তর করতে হবে: \( 3\frac{1}{3} = \frac{10}{3} \) — সূচকীয় রাশি: \( 3^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{3^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{3}} \) — অতএব, \( a = \frac{10}{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3}} \) **সমাধান প্রক্রিয়া:** — প্রদত্ত বহুপদী: \( 3a^3 - 9a + 1 \) — এখানে \( a \) এর মান সরাসরি প্রতিস্থাপন না করে, প্রথমে \( a \) এর মান নির্ণয় করতে হবে। — তবে সরাসরি মান নির্ণয় জটিল বিধায়, বিকল্প পদ্ধতি হিসেবে বহুপদীকে সরলীকরণ করা যেতে পারে। — লক্ষ্য করলে দেখা যায়, বহুপদীটি \( 3a^3 - 9a + 1 \) কে \( 3(a^3 - 3a) + 1 \) হিসেবে লেখা যায়। — এখন, \( a^3 - 3a \) এর মান নির্ণয় করতে হবে। — প্রদত্ত \( a = \frac{10}{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3}} \) এর পরিবর্তে, ধরি \( x = \sqrt[3]{3} \), তাহলে \( x^3 = 3 \) এবং \( \frac{1}{x} = 3^{-\frac{1}{3}} \)। — অতএব, \( a = \frac{10}{3} + \frac{1}{x} \)। — এখন, \( a^3 \) এর মান নির্ণয় করতে হবে: \( a^3 = \left(\frac{10}{3} + \frac{1}{x}\right)^3 \) \( = \left(\frac{10}{3}\right)^3 + 3 \cdot \left(\frac{10}{3}\right)^2 \cdot \frac{1}{x} + 3 \cdot \frac{10}{3} \cdot \left(\frac{1}{x}\right)^2 + \left(\frac{1}{x}\right)^3 \) \( = \frac{1000}{27} + \frac{100}{3x} + \frac{10}{x^2} + \frac{1}{x^3} \) — যেহেতু \( x^3 = 3 \), তাই \( \frac{1}{x^3} = \frac{1}{3} \)। — অতএব, \( a^3 = \frac{1000}{27} + \frac{100}{3x} + \frac{10}{x^2} + \frac{1}{3} \) — এখন, \( 3a \) এর মান: \( 3a = 10 + \frac{3}{x