a ≤ b এবং b ≤ a হলে নিচের কোনটি সত্য?

সঠিক উত্তর: (গ) a = b ভূমিকা: গণিতের অসমতা (inequality) বিষয়ে বিভিন্ন পরীক্ষায় প্রায়ই এমন প্রশ্ন আসে যেখানে দুটি চলকের মধ্যে সম্পর্ক বিশ্লেষণ করতে হয়। এ ধরনের প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য অসমতার মৌলিক নিয়মগুলো সম্পর্কে স্পষ্ট ধারণা থাকা প্রয়োজন। **a ≤ b এবং b ≤ a সম্পর্কে বিস্তারিত তথ্য:** — **অসমতার সংজ্ঞা:** a ≤ b বলতে বোঝায় a, b-এর চেয়ে ছোট বা সমান। অন্যদিকে b ≤ a বলতে বোঝায় b, a-এর চেয়ে ছোট বা সমান। — **উভয় অসমতা একসাথে:** যদি a ≤ b এবং b ≤ a উভয়ই সত্য হয়, তাহলে একমাত্র সম্ভাবনা হলো a = b। কারণ: - যদি a < b হতো, তাহলে b ≤ a সত্য হতো না। - যদি b < a হতো, তাহলে a ≤ b সত্য হতো না। — **গাণিতিক প্রমাণ:** a ≤ b এবং b ≤ a থেকে সরাসরি a = b প্রমাণিত হয়। কারণ: - a ≤ b থেকে পাওয়া যায় a - b ≤ 0 - b ≤ a থেকে পাওয়া যায় b - a ≤ 0 - দুইটি অসমতা যোগ করলে (a - b) + (b - a) ≤ 0 + 0 → 0 ≤ 0, যা সত্য। - কিন্তু একমাত্র যখন a = b হয়, তখনই এই সমতা পুরোপুরি সত্য হয়। বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ: ✗ ক) a < b: যদি a < b হতো, তাহলে b ≤ a সত্য হতো না। কারণ b > a হতো। ✗ খ) a > b: যদি a > b হতো, তাহলে a ≤ b সত্য হতো না। কারণ a < b হতো। ✗ ঘ) a ≠ b: যদি a ≠ b হতো, তাহলে হয় a < b অথবা a > b হতো, যেটি উভয় ক্ষেত্রেই অন্য অসমতাটি সত্য হতো না। উৎস: — গণিতের মৌলিক অসমতা বিষয়ক পাঠ্যপুস্তক (উদাহরণ: গণিত বিষয়ক উচ্চ মাধ্যমিক পাঠ্যবই) — ১৬তম শিক্ষক নিবন্ধন পরীক্ষার প্রশ্নব্যাংক (স্কুল পর্যায়)