ax 2 + b এর মান x = 1 হলে 1 এবং x = 3 হলে 25 হয়। x = 2 হলে এর মান কত?

সঠিক উত্তর: (খ) 10 ভূমিকা: এই প্রশ্নটি একটি দ্বিঘাত ফাংশনের মান নির্ণয় সম্পর্কিত। সাধারণ জ্ঞান ও গণিতের সমন্বয়ে গঠিত এই ধরনের প্রশ্ন বিভিন্ন সরকারি চাকরি পরীক্ষায় (যেমন BCS, Bank, Primary শিক্ষক নিবন্ধন) প্রায়শই আসে। এখানে প্রদত্ত ফাংশনটি হলো **f(x) = ax² + b**, যেখানে a ও b হলো ধ্রুবক। প্রদত্ত শর্তানুসারে ফাংশনের মান নির্ণয় করে পরবর্তীতে x = 2 এর জন্য মান বের করতে হবে। **f(x) = ax² + b সম্পর্কে বিস্তারিত তথ্য:** — এটি একটি দ্বিঘাত ফাংশন (Quadratic Function), যার সাধারণ রূপ হলো **f(x) = ax² + bx + c**। এখানে প্রদত্ত ফাংশনে **b = 0** ধরা হয়েছে, অর্থাৎ এটি সরল দ্বিঘাত ফাংশন। — দ্বিঘাত ফাংশনের গ্রাফ হলো একটি **পরাবৃত্ত (Parabola)**, যা x অক্ষের দিকে মুখ করে থাকে যদি a > 0 হয়, অথবা নিচের দিকে মুখ করে থাকে যদি a < 0 হয়। — ফাংশনের মান নির্ণয় করতে প্রদত্ত শর্তগুলো ব্যবহার করা হয়। এখানে দুইটি শর্ত দেওয়া হয়েছে: 1. যখন x = 1, তখন f(1) = 1 2. যখন x = 3, তখন f(3) = 25 **ধ্রুবক a ও b নির্ণয়:** — প্রদত্ত শর্তানুসারে: 1. f(1) = a(1)² + b = a + b = 1 2. f(3) = a(3)² + b = 9a + b = 25 — এখন দুইটি সমীকরণ সমাধান করলে: — সমীকরণ ১: a + b = 1 — সমীকরণ ২: 9a + b = 25 — সমীকরণ ২ থেকে সমীকরণ ১ বিয়োগ করলে: (9a + b) - (a + b) = 25 - 1 => 8a = 24 => a = 3 — a এর মান পাওয়ার পর সমীকরণ ১ থেকে b এর মান নির্ণয়: 3 + b = 1 => b = 1 - 3 = -2 — সুতরাং, ফাংশনটি হলো: **f(x) = 3x² - 2** **x = 2 এর জন্য মান নির্ণয়:** — এখন প্রদত্ত ফাংশনে x = 2 বসিয়ে মান নির্ণয়: f(2) = 3(2)² - 2 = 3 × 4 - 2 = 12 - 2 = 10 বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ: ✗ ক) 5: এই মানটি সঠিক নয় কারণ প্রদত্ত শর্তানুসারে ফাংশনের মান x = 2 এর জন্য 10 হওয়া উচিত। ✗ গ) 15: এই মানটি সঠিক নয় কারণ প্রদত্ত শর্তানুসারে ফাংশনের মান x = 2 এর জন্য 10 হওয়া উচিত। ✗ ঘ) 20: এই মানটি সঠিক নয় কারণ প্রদত্ত শর্তানুসারে ফাংশনের মান x = 2 এর জন্য 10 হওয়া উচিত। উৎস: — দ্বিঘাত ফাংশন সম্পর্কিত তথ্যের জন্য: *Higher Secondary Mathematics (Class XI & XII), NCTB* — সরকারি চাকরি পরীক্ষার প্রশ্নপত্র বিশ্লেষণ: *১৬তম শিক্ষক নিবন্ধন প্রশ্ন সমাধান (স্কুল পর্যায়), ২০২