x 2 – y 2 , (x + y) 2 , x 3 + y 3 এর গ.সা.গু কত?

সঠিক উত্তর: (খ) x + y **ভূমিকা:** গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু) নির্ণয় করার জন্য প্রদত্ত রাশিগুলোর মধ্যে সাধারণ উৎপাদক খুঁজে বের করতে হয়। এখানে তিনটি রাশি দেওয়া হয়েছে: \( x^2 - y^2 \), \( (x + y)^2 \), এবং \( x^3 + y^3 \)। এদের মধ্যে সাধারণ উৎপাদক কী তা নির্ধারণ করতে হবে। --- **প্রদত্ত রাশিগুলোর বিস্তারিত বিশ্লেষণ:** 1. **\( x^2 - y^2 \)**: — এটি একটি বর্গান্তর সূত্র (Difference of Squares) অনুসারে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়: \( x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) \) — এখানে দুটি উৎপাদক রয়েছে: \( (x - y) \) এবং \( (x + y) \)। 2. **\( (x + y)^2 \)**: — এটি সরাসরি \( (x + y) \) এর বর্গ। — উৎপাদক হিসেবে শুধুমাত্র \( (x + y) \) রয়েছে। 3. **\( x^3 + y^3 \)**: — এটি একটি সমষ্টির ঘন (Sum of Cubes) সূত্র অনুসারে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়: \( x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) \) — এখানে দুটি উৎপাদক রয়েছে: \( (x + y) \) এবং \( (x^2 - xy + y^2) \)। --- **গ.সা.গু নির্ণয়:** — তিনটি রাশির মধ্যে সাধারণ উৎপাদক খুঁজতে হবে। — \( x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) \) — \( (x + y)^2 = (x + y)(x + y) \) — \( x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) \) — তিনটি রাশিতেই \( (x + y) \) একটি সাধারণ উৎপাদক। — অন্য কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই। — তাই তিনটি রাশির গ.সা.গু হল \( (x + y) \)। --- **বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:** ✗ **ক) x – y**: — \( x - y \) শুধুমাত্র \( x^2 - y^2 \) এর একটি উৎপাদক, অন্য দুটি রাশিতে এটি নেই। তাই এটি গ.সা.গু নয়। ✗ **গ) (x 2 – y 2 )(x 3 + y 3 )**: — এটি দুটি রাশির গুণফল, যা গ.সা.গু নয়। গ.সা.গু হল ক্ষুদ্রতম সাধারণ উৎপাদক, গুণফল নয়। ✗ **ঘ) (x – y) (x + y) 2 (x 2 – xy + y 2 )**: — এটি তিনটি রাশির সম্পূর্ণ উৎপাদকগুলোর গুণফলের সমান, যা গ.সা.গু নয়। গ.সা.গু হল ক্ষুদ্রতম সাধারণ উৎপাদক। --- **উৎস:** 1. মাধ্যমিক গণিত পাঠ্যপুস্তক (বীজগণিত অংশ) 2. উচ্চ মাধ্যমিক গণিত পাঠ্যপুস্তক (বীজগণিত অংশ) 3. বিভিন্ন প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষার প্রশ্ন ব্যাংক (স্কুল পর্যায়-২, শিক্ষক নিবন্ধন)