x 3 + 6x 2 y + 11xy 2 + 6y 3 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

সঠিক উত্তর: (খ) (x + y)(x + 2y)(x + 3y) **উৎপাদকে বিশ্লেষণ সম্পর্কিত ভূমিকা:** উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো কোনো বহুপদীকে একাধিক সরল বহুপদীর গুণফল হিসেবে প্রকাশ করার প্রক্রিয়া। এটি গণিতের একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয়, বিশেষ করে বহুপদী সমীকরণ সমাধান এবং সরলীকরণের ক্ষেত্রে। এখানে প্রদত্ত বহুপদীটি হলো তৃতীয় ঘাতের একটি সমীকরণ, যা তিনটি রৈখিক উৎপাদকের গুণফল হিসেবে বিশ্লেষণ করা সম্ভব। **x³ + 6x²y + 11xy² + 6y³ সম্পর্কে বিস্তারিত তথ্য:** — প্রদত্ত বহুপদীটি হলো একটি সমমাত্রিক বহুপদী (Homogeneous Polynomial), যেখানে প্রতিটি পদে x ও y-এর মোট ঘাত ৩। — বহুপদীটির উৎপাদকে বিশ্লেষণের জন্য সাধারণ পদ্ধতি হলো ধ্রুবক পদকে বিবেচনা করা এবং সম্ভাব্য উৎপাদকগুলো পরীক্ষা করা। — বহুপদীটিকে (x + y) দ্বারা ভাগ করা যায় কিনা তা পরীক্ষা করা যেতে পারে, কারণ ধ্রুবক পদ ৬-এর উৎপাদক হিসেবে y-এর সহগ রয়েছে। — বহুপদীটিকে (x + y)(x + 2y)(x + 3y) হিসেবে বিশ্লেষণ করা যায়, যা প্রদত্ত বহুপদীর সমান। **বহুপদীটির উৎপাদকে বিশ্লেষণের ধাপসমূহ:** 1. বহুপদীটিকে x-এর ঘাত অনুসারে সাজানো হয়: x³ + 6x²y + 11xy² + 6y³ 2. বহুপদীটিকে (x + y) দ্বারা ভাগ করা যায় কিনা তা পরীক্ষা করা হয়: বহুপদীটিকে (x + y) দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল পাওয়া যায়: x² + 5xy + 6y² 3. ভাগফলটিকে পুনরায় উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা হয়: x² + 5xy + 6y² = (x + 2y)(x + 3y) 4. অতএব, পুরো বহুপদীটি হয়: (x + y)(x + 2y)(x + 3y) **বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:** ✗ (ক) (x + y)(x + 3y)(x + 5y): — এই উৎপাদকগুলোর গুণফল বহুপদীটির সমান নয়। বহুপদীটির ধ্রুবক পদ ৬-এর পরিবর্তে এখানে ১৫ পাওয়া যায়, যা ভুল। ✗ (গ) (x + y)(x + 4y)(x + 3y): — এই উৎপাদকগুলোর গুণফল বহুপদীটির সমান নয়। বহুপদীটির ধ্রুবক পদ ৬-এর পরিবর্তে এখানে ১২ পাওয়া যায়, যা ভুল। ✗ (ঘ) (x – y)(x + y)(x + 2y): — এই উৎপাদকগুলোর গুণফল বহুপদীটির সমান নয়। বহুপদীটির ধ্রুবক পদ ৬-এর পরিবর্তে এখানে -২ পাওয়া যায়, যা ভুল। **উৎস:** 1. *উচ্চ মাধ্যমিক গণিত* (এনসিটিবি প্রকাশিত, বাংলাদেশ) 2. *গণিতের উৎপাদকে বিশ্লেষণ* (ড. মুহাম্মদ জাফর ইকবাল) 3. ১২তম শিক্ষক নিবন্ধন প্রশ্নব্যাংক (স্কুল পর্যায়)